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P6 桌面游戏

题目描述

Dr. X 设计了一个双人桌面游戏，在一个 $3 \times 3$ 的方格中轮流填入数字 $1, 2, \ldots, 9$。现在，方格中已经填好了一部分数字，Dr. X 和 Dr. Y 按如下规则交替填入数字 (Dr. X 先填)：

1. 每一轮，从当前剩余未使用的数字中，找到最小的一个数字。
2. 选择方格中的任意一个空位，将该数字填入。
3. 换另一个人重复这一过程，当方格被填满时，游戏结束。

游戏结束后，双方计算分数的规则：

• Dr. X 的分数 $x$ 等于三行数字乘积之和。
• Dr. Y 的分数 $y$ 等于三列数字乘积之和。

Dr. X 和 Dr. Y 都希望拉开和对方分数的差距：Dr. X 希望最大化 $x - y$，而 Dr. Y 希望最小化 $x - y$。他们都互相知道对方都是绝顶聪明的人，一定会采取对自己最有利的策略。请你写程序预判游戏的最终结果：

• 若 Dr. X 的分数更高，输出 first；
• 若 Dr. Y 的分数更高，输出 second；
• 若两人分数相同，输出 tie。

输入格式

第一行输入一个整数 $T$，表示数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据。每组数据包含 $3$ 行，每行 $3$ 个整数，表示当前的 $3 \times 3$ 方格，其中 $0$ 表示该位置为空。输入数据保证初始方格中所有非零数字互不相同，且都在 $1$ 到 $9$ 之间。

输出格式

对于每组数据，输出一行字符串，表示最终结果。

3
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1 4 7
2 5 8
3 6 0
1 4 7
2 5 8
0 6 0

first
second
second

1
0 0 3
4 5 6
7 0 9

tie

说明/提示

样例 1 解释

• 第一组数据中，只有一个空位，剩余数字为 $9$，先手只能将 $9$ 填入右下角。此时 Dr. X 的分数为 $1 \times 2 \times 3 + 4 \times 5 \times 6 + 7 \times 8 \times 9 = 630$，Dr. Y 的分数为 $1 \times 4 \times 7 + 2 \times 5 \times 8 + 3 \times 6 \times 9 = 270$，因此先手获胜。
• 第二组数据中，只有一个空位，剩余数字同样为 $9$。先手填入后，Dr. X 的分数为 $270$，Dr. Y 的分数为 $630$，因此后手获胜。
• 第三组数据中，剩余数字为 $3$ 和 $9$。先手必须先填入 $3$，后手再填入 $9$。无论先手如何选择位置，后手都能使自己的最终分数更高，因此后手必胜。

样例 2 解释

• 这一组的剩余数字为 $1$、$2$、$8$。先手若不把 $1$ 填在左上角，后手就能获胜，因此先手的最优选择是先填左上角。之后后手把 $2$ 填在第三行第二列，先手再把 $8$ 填在第一行第二列，最终方格为：

1 8 3
4 5 6
7 2 9

此时 Dr. X 的分数为 $1 \times 8 \times 3 + 4 \times 5 \times 6 + 7 \times 2 \times 9 = 270$，Dr. Y 的分数为 $1 \times 4 \times 7 + 8 \times 5 \times 2 + 3 \times 6 \times 9 = 270$，因此平局。

数据规模

• 对于 $30\%$ 的数据，空位 $0$ 的个数不超过 $2$。
• 对于 $60\%$ 的数据，空位 $0$ 的个数不超过 $5$。
• 对于 $100\%$ 的数据，空位 $0$ 的个数不超过 $9$，$1 \le T \le 20$。