NOIP入学测试

1. (单选题) 计算：$2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^8 + 2^9 =$ _____（$2^9$ 表示 2 的 9 次方）
   A. 1024　B. 1023　C. 1022　D. 1100

2. (单选题) 一个四位数与它的各个位上的数之和是 1972，求这个四位数是？
   A. 1972　B. 1989　C. 1949　D. 1947

3. (单选题) 小猫爬一棵高 10 米的树，它一次爬 3 米，但又向下滑 2 米，它要爬多少次才能爬上树顶？
   A. 8　B. 10　C. 6　D. 12

4. (单选题) 1 根绳子对折，再对折，再第三次对折，然后从中间剪断，共剪成多少段？
   A. 9 段　B. 11 段　C. 12 段　D. 13 段

5. (单选题) 计算：$61 + 63 + \cdots + 79 =$ （）。
   A. 680　B. 700　C. 720　D. 750

6. (单选题) 有只猴子在树林采了 100 根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆 50 米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背 50 根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？
   A. 0　B. 15　C. 20　D. 25

7. (单选题) 一只半母鸡在一天半里生一个半蛋，六只母鸡在六天里生几个蛋？
   A. 18　B. 24　C. 20　D. 28

8. (单选题) 小明要上十级台阶。他每一步都可选择上一级或者上两级。如：小明第一步可选择上到第一级台阶，也可选择直接上到第二级台阶，以后的每一步都可作类似选择。问，小明上到第十级台阶，共有多少种不同的方法？
   A. 55　B. 89　C. 34　D. 144

9. (单选题) 猴子第 1 天摘下若干个桃子，当即吃了一半又一个。第二天又把剩下的桃子吃了一半又一个，以后每天都吃前一天剩下的桃子的一半又一个，到第 6 天猴子想吃时，只剩下一个桃子。问：猴子第 1 天一共摘了多少桃子？
   A. 100　B. 94　C. 91　D. 49

10. (单选题) 一个直角三角形的一条直角边长度为 6，面积为 30，那么另一条直角边长度是多少？
    A. 10　B. 20　C. 15　D. 8

11. (单选题) 甲、乙、丙、丁、戊五个人排成一排照相，那么一共有多少种不同的排队方法。
    A. 60　B. 90　C. 100　D. 120

12. (单选题) 大朱、小朱沿周长为 120 米的湖边晨练，大朱的速度为每秒 4 米，小朱的速度为每秒 3 米，若两人同时从同一地点出发，同向而行，那么 5 分钟内大朱追上小朱多少次，几分钟后两人第一次在起点处相遇？
    A. 3, 2　B. 2, 2　C. 2, 3　D. 3, 3

13. (单选题) 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发前往 B 地，甲车每小时 20 千米，乙车每小时 16 千米，一辆马车同时从 B 出发，与甲、乙、丙三车相向而行，5 小时后遇到甲车，6 小时后遇到乙车，8 小时后遇到丙车，则丙车每小时行多少千米？
    A. 10　B. 12　C. 11　D. 13

14. (单选题) 有 10 箱钢珠，每个钢珠重 10 克，每箱 600 个，如果 10 箱钢珠中有 1 箱次品，次品钢珠每个重 9 克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？
    A. 1　B. 2　C. 3　D. 以上都不对

15. (单选题) 一个房间中有 100 盏灯，用自然数 $1,2,3,\ldots,100$ 编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮，有 100 个人依次进入房间，第 1 个人进入房间后，将编号为 1 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第 2 个人进入房间后，将编号为 2 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第 100 个人进入房间，将编号为 100 的倍数的灯的开关按一下，然后离开，问：第 100 个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？
    A. 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
    B. 都不亮
    C. 都亮
    D. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

16. (单选题) 某游乐场开门前有 400 人在排队，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟进入 10 个人，如果开放了 4 个入口，20 分钟后就没有人排队了，现在开放 6 个入口，那么开门（ ）分钟后没有人排队了？
    A. 15　B. 10　C. 20　D. 25

17. (单选题) 一列火车长 200 米，每秒钟行 20 米。全车通过一座大桥用 60 秒，大桥长度是（ ）米。
    A. 400　B. 800　C. 1000　D. 1200

18. (单选题) 如果在乘电动扶梯的同时阳阳继续向上走需要 25 秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时阳阳逆着向下走需要 75 秒，那么电动扶梯不动时，阳阳徒步沿扶梯上楼需要（ ）秒。
    A. 32.5　B. 35.0　C. 37.5　D. 75

19. (单选题) 甲、乙、丙、丁四个人中有理发师、司机、厨师、作家各一名。已知：
    ① 作家不知道乙的职业；
    ② 理发师经常给乙理发；
    ③ 司机曾经给丙开过车；
    ④ 丁不是司机；
    ⑤ 乙和丙从未见过面。
    那么甲的职业是什么？
    A. 理发师　B. 司机　C. 厨师　D. 作家

20. (单选题) 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，
    乙说：“我不最矮”；
    丙说：“我没甲高，但还有人比我矮。”；
    丁说：“我最矮。”；
    甲说：“我最高”；
    实际测量的结果表明，只有一人说错了。请将他们按身高次序从高到矮排列出来。
    A. 甲乙丙丁　B. 乙丙甲丁　C. 乙甲丙丁　D. 丙乙甲丁

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解析

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NOIP入学测试 带解析

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1.

题目：计算：$2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^8 + 2^9 =$ _____
A. 1024　B. 1023　C. 1022　D. 1100

答案：C. 1022

解析：
这是一个首项 $a_1 = 2$、公比 $q = 2$、共 9 项的等比数列。
等比数列前 $n$ 项和公式为：

$$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{2(2^9 - 1)}{2 - 1} = 2(512 - 1) = 1022 $$

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2.

题目：一个四位数与它的各位数字之和是 1972，求这个四位数。
A. 1972　B. 1989　C. 1949　D. 1947

答案：C. 1949

解析：
设四位数为 $1000a + 100b + 10c + d$，则：

$$1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 1972 \\ \Rightarrow 1001a + 101b + 11c + 2d = 1972 $$

由于 $a$ 为千位，且 $1001a < 1972$，故 $a = 1$。
代入得：$101b + 11c + 2d = 971$。
因 $11c + 2d \leq 11 \times 9 + 2 \times 9 = 117$，故 $101b \geq 854 \Rightarrow b = 9$。
再代入得：$11c + 2d = 62$。
尝试 $c = 4$，得 $2d = 62 - 44 = 18 \Rightarrow d = 9$（合法）；
$c = 5$ 时 $d = 3.5$（舍去）。
故四位数为 1949。

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3.

题目：小猫爬 10 米高的树，每次爬 3 米又滑下 2 米，需爬多少次到顶？
A. 8　B. 10　C. 6　D. 12

答案：A. 8

解析：
前 7 次每次净爬 1 米，共爬 7 米；
第 8 次爬 3 米，到达 10 米，不再下滑。
故共需 8 次。

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4.

题目：一根绳子对折 3 次，从中间剪断，共多少段？
A. 9　B. 11　C. 12　D. 13

答案：A. 9

解析：
对折 $n$ 次后剪断，段数为 $2^n + 1$。
当 $n = 3$，段数为 $2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$。

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5.

题目：计算：$61 + 63 + \cdots + 79 =$ （）
A. 680　B. 700　C. 720　D. 750

答案：B. 700

解析：
这是首项 61、末项 79、公差 2 的等差数列。
项数：$n = \frac{79 - 61}{2} + 1 = 10$
和：$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{10(61 + 79)}{2} = 700$

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6.

题目：猴子背 100 根香蕉回家（50 米），每次最多背 50 根，每走 1 米吃 1 根，最多带回家几根？
A. 0　B. 15　C. 20　D. 25

答案：D. 25

解析：
最优策略：在 25 米处设中转点。

• 第一次背 50 根到 25 米，吃掉 25 根，剩 25 根，放下；
• 返回起点（再吃 25 根，但无香蕉可吃，实际需空手回）；
• 第二次背剩下 50 根到 25 米，又吃 25 根，剩 25 根；
• 此时中转点共 50 根，背回家再走 25 米，吃 25 根，剩 25 根。

注：文档中解析为 25，但部分经典版本答案为 16 或 17，此处以题给解析为准。

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7.

题目：1.5 只母鸡 1.5 天生 1.5 个蛋，6 只母鸡 6 天生几个蛋？
A. 18　B. 24　C. 20　D. 28

答案：B. 24

解析：
单位效率：1 只鸡 1 天生 $\frac{1.5}{1.5 \times 1.5} = \frac{2}{3}$ 个蛋。
6 只鸡 6 天：$6 \times 6 \times \frac{2}{3} = 24$ 个。
或按比例：鸡数 × 天数 ÷ (1.5×1.5) × 1.5 = $36 \div 2.25 \times 1.5 = 24$。

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8.

题目：上 10 级台阶，每次上 1 或 2 级，有多少种方法？
A. 55　B. 89　C. 34　D. 144

答案：B. 89

解析：
斐波那契数列：

• $f(1) = 1$
• $f(2) = 2$
• $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$
  计算得：
  $f(3)=3, f(4)=5, f(5)=8, f(6)=13, f(7)=21, f(8)=34, f(9)=55, f(10)=89$

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9.

题目：猴子每天吃一半再吃一个，第 6 天剩 1 个，第 1 天摘了多少？
A. 100　B. 94　C. 91　D. 49

答案：B. 94

解析：
逆推：设第 $n$ 天开始有 $x_n$ 个桃子，则

$$x_n = 2(x_{n+1} + 1)$$

已知 $x_6 = 1$，

• $x_5 = 2(1+1) = 4$
• $x_4 = 2(4+1) = 10$
• $x_3 = 2(10+1) = 22$
• $x_2 = 2(22+1) = 46$
• $x_1 = 2(46+1) = 94$

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10.

题目：直角三角形一条直角边为 6，面积 30，另一条直角边？
A. 10　B. 20　C. 15　D. 8

答案：A. 10

解析：
面积公式：$\frac{1}{2} \times a \times b = 30$
已知 $a = 6$，则 $\frac{1}{2} \times 6 \times b = 30 \Rightarrow b = 10$

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11.

题目：5 人排成一排照相，有多少种排法？
A. 60　B. 90　C. 100　D. 120

答案：D. 120

解析：
全排列：$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

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12.

题目：大朱（4 m/s）、小朱（3 m/s）绕 120 米湖同向跑，5 分钟内大朱追上几次？几分钟后首次在起点相遇？
A. 3,2　B. 2,2　C. 2,3　D. 3,3

答案：B. 2,2

解析：

• 相对速度：$4 - 3 = 1$ m/s，追上一次需 $120 \div 1 = 120$ 秒 = 2 分钟
• 5 分钟 = 300 秒，可追上 $\lfloor 300 / 120 \rfloor = 2$ 次
• 在起点相遇：求两人回到起点时间的最小公倍数
  • 大朱一圈：$120 \div 4 = 30$ 秒
  • 小朱一圈：$120 \div 3 = 40$ 秒
  • LCM(30, 40) = 120 秒 = 2 分钟

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13.

题目：甲（20 km/h）、乙（16 km/h）、丙（?）从 A 出发，马车从 B 相向而行，5h 遇甲，6h 遇乙，8h 遇丙，求丙速度。
A. 10　B. 12　C. 11　D. 13

答案：C. 11

解析：
设马车速度为 $v$，AB 距离为 $S$。

• 遇甲：$S = (20 + v) \times 5$
• 遇乙：$S = (16 + v) \times 6$
  联立得：$100 + 5v = 96 + 6v \Rightarrow v = 4$ km/h
  则 $S = (20 + 4) \times 5 = 120$ km
  遇丙：$120 = (x + 4) \times 8 \Rightarrow x = \frac{120}{8} - 4 = 15 - 4 = 11$ km/h

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14.

题目：10 箱钢珠，1 箱次品（每颗轻 1 克），最少称几次找出？
A. 1　B. 2　C. 3　D. 以上都不对

答案：A. 1

解析：
经典“一次称重”法：

• 从第 $i$ 箱取 $i$ 颗，共取 $1+2+\cdots+10 = 55$ 颗
• 若全合格，总重应为 $55 \times 10 = 550$ 克
• 实际重量为 $550 - d$，则第 $d$ 箱为次品
  只需 1 次称重。

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15.

题目：100 盏灯，100 人依次按倍数开关，最后哪些灯亮？
A. 斐波那契数　B. 都不亮　C. 都亮　D. 完全平方数

答案：D. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

解析：
灯最终亮 ⇨ 被按奇数次 ⇨ 编号有奇数个因数 ⇨ 完全平方数
1 到 100 中的完全平方数共 10 个：$1^2$ 到 $10^2$

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16.

题目：开门前 400 人排队，每分钟来 $x$ 人，4 个入口（每口 10 人/分）20 分钟清空，若开 6 个入口，几分钟清空？
A. 15　B. 10　C. 20　D. 25

答案：B. 10

解析：

• 4 口 20 分钟进人：$4 \times 10 \times 20 = 800$ 人
• 新来人数：$800 - 400 = 400$，故每分钟来 $400 \div 20 = 20$ 人
• 设 $x$ 分钟清空：$6 \times 10 \times x = 400 + 20x \Rightarrow 60x = 400 + 20x \Rightarrow 40x = 400 \Rightarrow x = 10$

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17.

题目：火车长 200 米，速度 20 m/s，60 秒过桥，桥长？
A. 400　B. 800　C. 1000　D. 1200

答案：C. 1000

解析：
过桥路程 = 车长 + 桥长

$$20 \times 60 = 200 + L \Rightarrow 1200 = 200 + L \Rightarrow L = 1000 $$

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18.

题目：乘扶梯上楼 25 秒，逆走下楼 75 秒，扶梯不动时徒步上楼需几秒？
A. 32.5　B. 35.0　C. 37.5　D. 75

答案：C. 37.5

解析：
设扶梯长为 1，阳阳速度 $a$，扶梯速度 $b$。

• 顺行：$a + b = \frac{1}{25}$
• 逆行：$a - b = \frac{1}{75}$
  相减得：$2b = \frac{1}{25} - \frac{1}{75} = \frac{2}{75} \Rightarrow b = \frac{1}{75}$
  代入得：$a = \frac{1}{25} - \frac{1}{75} = \frac{2}{75}$
  故徒步时间：$\frac{1}{a} = \frac{75}{2} = 37.5$ 秒

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19.

题目：甲、乙、丙、丁 分别是理发师、司机、厨师、作家，根据条件判断甲职业。
条件：
① 作家不知乙职业 → 乙 ≠ 作家
② 理发师给乙理发 → 乙 ≠ 理发师
③ 司机给丙开车 → 丙 ≠ 司机
④ 丁 ≠ 司机
⑤ 乙丙未见过面 → 乙 ≠ 司机（否则给丙开车），丙 ≠ 理发师（否则给乙理发）

答案：B. 司机

解析：
由①② ⇒ 乙不是作家、不是理发师
由③⑤ ⇒ 乙不是司机，丙不是司机、不是理发师
→ 乙只能是 厨师
→ 丙不能是厨师，只能是 作家
→ 丁不是司机（④），也不是乙（厨师）、丙（作家），故丁是 理发师
→ 剩下甲是 司机

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20.

题目：四人比身高，只有一人说错，排序从高到矮。

• 乙：“我不最矮”
• 丙：“我没甲高，但还有人比我矮”
• 丁：“我最矮”
• 甲：“我最高”

答案：C. 乙甲丙丁

解析：
假设丁说错 ⇒ 丁不是最矮 ⇒ 无人最矮（矛盾）→ 丁 说对
→ 丁最矮
→ 乙说“我不最矮”也对
→ 说错的在甲、丙中

• 若甲对（甲最高），丙说“没甲高，有人比我矮” → 丙在中间，合理，但两人对，矛盾
• 若甲错（甲不是最高），丙对 → 有人比甲高，且丙比甲矮，丁最矮
  → 顺序：乙 > 甲 > 丙 > 丁
  验证：
• 乙：不最矮 ✅
• 丙：没甲高，丁比他矮 ✅
• 丁：最矮 ✅
• 甲：说我最高 ❌
  仅甲错，符合条件。

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